Для доказательства данного тождества воспользуемся определениями тригонометрических функций.

Известно, что tg(x) = sin(x) / cos(x) и, следовательно, cos(x) = sin(x) / tg(x).

Теперь подставим это выражение в исходное тождество:

sin(x) + tg(x) / tg(x) = 1 + sin(x) / tg(x).

Упростим выражение, домножив его на tg(x), получим:

sin(x) * tg(x) + 1 = sin(x).

Так как tg(x) = sin(x) / cos(x), подставим значение tg(x) = sin(x) / cos(x):

sin(x) * (sin(x) / cos(x)) + 1 = sin(x),

sin^2(x) / cos(x) + 1 = sin(x),

sin^2(x) + cos(x) = sin(x) * cos(x).

Используем формулу сложения для синуса:

sin^2(x) + cos^2(x) = sin(x) * cos(x),

что является известным тождеством.

Таким образом, тождество sin(x) + tg(x) / tg(x) = 1 + cos(x) доказано.