Для нахождения экстремума функции z при условии 2x + 9y = 0 воспользуемся методом множителей Лагранжа.

Запишем уравнение Лагранжа:
L(x, y, λ) = x^2 + 5xy + 5y^2 - 2x - y + 4 + λ(2x + 9y)

Найдем частные производные функции L по x, y и λ:
∂L/∂x = 2x + 5y - 2 + 2λ
∂L/∂y = 5x + 10y - 1 + 9λ
∂L/∂λ = 2x + 9y

Теперь составим систему уравнений из условия стационарности и условия равенства нулю заданного ограничения:
2x + 5y - 2 + 2λ = 0
5x + 10y - 1 + 9λ = 0
2x + 9y = 0

Решая данную систему уравнений, найдем значения x, y и λ. Подставив их обратно в исходную функцию z, определим, является ли найденная точка экстремумом.

Таким образом, исследовав функцию z = x^2 + 5xy + 5y^2 - 2x - y + 4 при условии 2x + 9y = 0, мы можем найти ее экстремум с помощью метода множителей Лагранжа.