Для доказательства данного утверждения проведем математическую индукцию.

База индукции:
Для n=1:
11^(1+2) + 12^(2*1+1) = 11^3 + 12^3 = 1331 + 1728 = 3059
3059 не делится на 133.

Предположение индукции:
Предположим, что 11^(n+2) + 12^(2n+1) не делится на 133 для произвольного, но фиксированного n=k.

Шаг индукции:
Докажем, что справедливо также и для n=k+1:
11^(k+3) + 12^(2(k+1)+1) = 1111^(k+2) + 12^212^(2k+1) = 1111^(k+2) + 14412^(2k+1) = 1111^(k+2) + 12(11^k 12^(2k+1)) + 1212^(2k+1) = 1111^(k+2) + 12(11^k 12^(2k+1)) + 12(12^(2k+1))

Заметим, что второе и третье слагаемое делятся на 133, по предположению индукции.
Таким образом, получаем, что 11^(k+3) + 12^(2(k+1)+1) также не делится на 133.

Из этого следует, что для всех натуральных чисел n данное выражение не делится на 133.