Для начала найдем уравнение касательной к данной гиперболе.

Исходное уравнение гиперболы x^2/16 - y^2/8 = 1 можно переписать в виде y^2 = 8x^2 - 128.

Возьмем производную от обеих сторон по x:
dy/dx = 16x/√(8x^2 - 128)

Найдем уравнение нормали к гиперболе, проходящей через точку (a, b):
(y - b) = -√(8a^2 - 128) * (x - a) / (16a)

Учитывая, что нормаль перпендикулярна касательной, найдем a и b из системы уравнений касательной и нормали.

Уравнение касательной:
dy/dx = 16a/√(8a^2 - 128)

Уравнение нормали:
b = a^2/16 - 8 - 64/a

Подставляя значение b в уравнение касательной, найдем значение a:
16a/√(8a^2 - 128) = 1/16
256a^2 = 8a^2 - 128
248a^2 = -128
a^2 = -128 / 248
a = ±√(64/31)

Таким образом, получаем точки касания касательной и гиперболы:
(-√(64/31), 8√(64/31)) и (√(64/31), -8√(64/31))

Теперь найдем угловой коэффициент прямой 2x + 4y - 5 = 0:
dy/dx = -1/2

Так как касательная параллельна прямой, то ее угловой коэффициент тоже равен -1/2.

Теперь можем составить уравнение касательной к найденным точкам:
y - 8√(64/31) = (-1/2)(x + √(64/31))
y + 8√(64/31) = (-1/2)(x - √(64/31))

Вычислим расстояние между прямой и касательной по формуле:
d = |5√(31) / 2| = 5√31 / 2

Таким образом, расстояние между прямой и касательной равно 5√31 / 2.