Для нахождения производной функции Z=arctg(x/y) по x, нам нужно воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции.

Пусть u = x/y, тогда Z = arctg(u).

Теперь найдем производную Z по x:

dZ/dx = d(arctg(u))/dx = d(arctg(x/y))/dx

Применяем формулу для дифференцирования арктангенса: d(arctg(u))/du = 1/(1 + u^2)

Заменяем u обратно: 1/(1 + (x/y)^2)

Теперь продифференцируем это выражение по x:

dZ/dx = -2xy / (y^2 + x^2)^2

Таким образом, производная функции Z=arctg(x/y) по x равна -2xy / (y^2 + x^2)^2.