Для начала найдем гипотенузу прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:
( \text{гипотенуза} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 ).

Теперь выразим радиус вписанной окружности через площадь треугольника ( S ), гипотенузу и полусумму сторон треугольника ( p = \frac{a + b + c}{2} ):
[ r = \frac{2S}{a + b + c} ].

Так как треугольник прямоугольный, то его площадь равна ( S = \frac{ab}{2} ). Подставим все это в формулу для радиуса:
[ r = \frac{2 \cdot \frac{5 \cdot 12}{2}}{5 + 12 + 13} = \frac{60}{30} = 2 ].

Итак, радиус окружности, которая касается обоих катетов и изнутри - описанной окружности треугольника, равен 2.