Для решения уравнения (2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0) используем квадратное уравнение.

Обозначим (\cos x = t), тогда уравнение примет вид:

(2t^2 - t - 1 = 0).

Теперь найдем корни этого уравнения, используя дискриминант:

(D = (-1)^2 - 4 2 (-1) = 1 + 8 = 9).

Так как дискриминант положителен, то уравнение имеет два корня:

(t_1 = \dfrac{1 + \sqrt{9}}{4} = \dfrac{1 + 3}{4} = 1).

(t_2 = \dfrac{1 - \sqrt{9}}{4} = \dfrac{1 - 3}{4} = -\dfrac{1}{2}).

Так как (\cos x = 1) или (\cos x = -\dfrac{1}{2}), то решения будут:

(\cos x = 1), следовательно (x = 0 + 2\pi k), где (k) - целое число.(\cos x = -\dfrac{1}{2}), известно что (\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}) и (-\cos \dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}). Следовательно решением будет (x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k) и (x = \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k), где (k) - целое число.

Таким образом, решения уравнения (2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0) будут:

(x = 0 + 2\pi k, \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k, \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k), где (k) - целое число.