Для любого натурального n уравнение a^2 + b^2 = 7^n имеет решение в целых числах, так как любое число 7^n может быть представлено в виде суммы двух квадратов (по теореме Лежандра).

Таким образом, количество натуральных n, для которых уравнение имеет решение, равно количеству возможных делителей числа 7^n. Число 7^n имеет следующие делители: 1, 7, 7^2, ..., 7^n. Таким образом, всего существует n+1 натуральных чисел, меньших 1037, для которых уравнение a^2 + b^2 = 7^n имеет решение.

Ответ: 1036.