Для цилиндрического сосуда объемом 8π литров наименьшее количество материала потребуется для сосуда с высотой h и радиусом основания r, таким образом:

V = πr²h = 8π

Так как нам нужно минимизировать количество материала, то нужно минимизировать поверхность сосуда. Поверхность сосуда состоит из боковой поверхности и дна.

Боковая поверхность: Sб = 2πrh
Площадь дна: Sд = πr²

Полная поверхность: Sп = Sб + Sд = 2πrh + πr²

Так как нам нужно минимизировать Sп при условии, что V = 8π, получаем:

Sп = 2πrh + πr²
V = πr²h = 8π

Выразим h из уравнения объема и подставим в уравнение поверхности:

h = 8/r²

Sп = 2πr(8/r²) + πr²
Sп = 2π * 8/r + πr²
Sп = 16π/r + πr²

Для минимизации Sп найдем производную d(Sп)/dr и приравняем ее к нулю:

d(Sп)/dr = -16π/r² + 2πr = 0
16 = 2r²
r² = 8
r = √8 = 2√2

h = 8/r² = 8/(8) = 1

Итак, получаем, что наименьшее количество материала потребуется для цилиндрического сосуда с радиусом основания r = 2√2 и высотой h = 1.