Пусть на доске написаны числа a1, a2, ..., a10.

Так как сумма любых трех чисел должна делиться на два из них, можем выразить это равенством:

a_i + a_j = 2 * a_k, где i, j, k - различные числа от 1 до 10.

Рассмотрим все возможные комбинации троек:

a1 + a2 = 2 a3,
a1 + a3 = 2 a2,
a1 + a4 = 2 a5,
...
a8 + a9 = 2 a10.

Рассмотрим первое равенство, а1 + a2 = 2 * a3. Так как равенства симметричны, можем допустить, что первое и второе равенства равны:

a1 + a2 = 2 a3,
a2 + a1 = 2 a3.

Сложим эти два равенства:

2 (a1 + a2) = 4 a3,
a1 + a2 = 2 * a3.

То есть, a1 + a2 = 2 * (a1 + a2), откуда получаем, что a1 = a2.

Таким образом, мы доказали, что среди написанных чисел найдутся равные.