Первым шагом найдем радиус окружности. Поскольку точка C лежит на окружности с центром в точке A, то AC является радиусом этой окружности. Из условия известно, что AC=5.

Затем применим теорему Пифагора к треугольнику ACB:
AB^2 = AC^2 + BC^2
AB^2 = 5^2 + 8^2
AB^2 = 25 + 64
AB^2 = 89

AB = √89

Теперь касательная, проведенная из точки В, будет касаться окружности в точке С (так как BC ⊥ AB). Поэтому треугольник BSC будет прямоугольным, и BC будет катетом этого треугольника. Таким образом, длина касательной равна BC.

Применим теорему Пифагора к треугольнику BSC:
BC^2 = BS^2 + SC^2
BC^2 = BS^2 + AC^2
BC^2 = BS^2 + 5^2

Заметим, что треугольники BSC и ABC подобны, поэтому их стороны пропорциональны:
AB / BC = AC / BS
√89 / BC = 5 / BS

BS = BC 5 / √89
BS = BC 5 / √89

Применим теорему Пифагора к треугольнику BSC (треугольник прямоугольный):
BC^2 = BS^2 + SC^2
BC^2 = (BC 5 / √89)^2 + 5^2
BC^2 = (BC^2 25) / 89 + 25
89 BC^2 = 25 BC^2 + 25 * 89
89BC^2 = 25BC^2 + 2225
64BC^2 = 2225
BC^2 = 2225 / 64
BC = √(2225 / 64)
BC ≈ √34,77
BC ≈ 5,89

Итак, длина касательной равна приблизительно 5,89.