Для начала решим первое уравнение x^2 + x = 6 < 0.

Перепишем его в виде x^2 + x - 6 < 0 и факторизуем: $x+3$$x-2$ < 0.

Теперь найдем корни уравнения: x + 3 = 0, x = -3 и x - 2 = 0, x = 2.

Нарисуем числовую прямую и отметим на ней корни: -3 и 2.

После этого, рассмотрим интервалы $-бесконечность,-3$, $-3,2$ и $2,+бесконечность$.

Подставим в каждый интервал произвольное значение и проверим знак выражения.

Для интервала $-бесконечность,-3$ возьмем x = -4, $-4+3$$-4-2$ = $-1$$-6$ = 6 > 0.

Для интервала $-3,2$ возьмем x = 0, $0+3$$0-2$ = $3$$-2$ = -6 < 0.

Для интервала $2,+бесконечность$ возьмем x = 3, $3+3$$3-2$ = $6$$1$ = 6 > 0.

Таким образом, решение для неравенства x^2 + x < 6: -3 < x < 2.

Теперь перейдем ко второму уравнению -x^2 + 2x + 3 <= 0.

Перепишем его в виде -x^2 + 2x + 3 = 0 и решим это квадратное уравнение, найдем его корни x = -1 и x = 3.

Теперь на числовой прямой отметим корни -1 и 3 и рассмотрим интервалы $-бесконечность,-1$, $-1,3$ и $3,+бесконечность$.

Произведем аналогичные подстановки в интервалах и найдем, что решение для неравенства -x^2 + 2x + 3 <= 0: -1 <= x <= 3.

Таким образом, решение системы неравенств: -1 <= x <= 3.