Дано: AB = CD = c, AD = a, AC = c, ∠AOB = 45°

Так как ABCD - равнобедренная трапеция, то угол A = угол B.

Из того, что ∠AOB = 45°, следует, что ∠ABC = ∠CDA = 45°.

Обозначим медиану AM и высоту h.

Так как ∠CAM = ∠MAC = ∠ADM = ∠MDA = 45°, то треугольники AMC и AMD - равнобедренные.

Так как ∠ACM = ∠ADM = 45°, то треугольники ACM и ADM - равнобокие.

Найдем AM:

tg 45° = AM / c
1 = AM / c
AM = c

Значит, треугольник AMC - равнобедренный.

По теореме пифагора:
MC^2 = AM^2 - AC^2
MC^2 = c^2 - c^2
MC = 0

Мы видим, что вершина M треугольника ADC совпадает с вершиной C.

Таким образом, AMCD - прямоугольник.

Площадь трапеции равна S = (с + a) / 2 * h.

Так как AM = c, то h = CD = c.

Так как AMCD - прямоугольник, то a = MC = 0.

Отсюда площадь трапеции будет равна:
S = (c + 0) / 2 * c
S = c^2 / 2

Ответ: S = c^2 / 2