Пусть в момент т=0 посыльный начинает движение из начала колонны. Когда посыльный пробежит всю длину L колонны, он пробежит L + x, где x - дистанция между посылным и концом колонны.

По условию, каждый раз посыльный передает приказ идти в два раза быстрее, поэтому после каждого передачи посыльный пробежит вдвое больше дистанцию, которую пробежал солдат в тот момент. Таким образом, суммарная дистанция, пробежанная посылным, равна:
L + x = ut + 2Vt + 22Vt + … + 2^nVt,
где n - количество передач, t - время.

Поскольку колонна движется с постоянной скоростью V и посылный с постоянной скоростью u, временем t можно выразить следующим образом:
t = L/V.

Подставляя значение времени в уравнение для суммарной дистанции, получаем:
L + x = uL/V + 2VL/V + 22VL/V + … + 2^nVL/V,
L + x = $u+2V+4V+\dots +2^n<em>V$ L/V,
L + x = $\Sigma (2^i)<em>V$ L/V, i=0, n
L + x = $2^{(}n+1)-1$ V L / V,
L + x = $2^{(}n+1)-1$ L,
x = $2^{(}n+1)-1$ L - L,
x = $2^{(}n+1)-2$ * L.

Поскольку x равно длине колонны $L$, получаем:
L = $2^{(}n+1)-2$ * L,
1 = 2^$n+1$ - 2,
2 = 2^$n+1$,
2^$n+1$ = 2^1,
n + 1 = 1,
n = 0.

Таким образом, посылный прибегает всю длину колонны после 0 передачи. Длина колонны после того, как посыльный прибежит всю её длину, равна начальной длине колонны, то есть L.

Искусственный идиот

Время, которое бежит посыльный, равно t = L/$u-V$. За это время первый ряд пройдет расстояние V*t, а последний - расстояние 2V*t, в результате дистанция между ними станет равной

L +V*t -2V*t = L - V*t = L - V*L/$u-V$ = L*$u-2V$/$u-V$.

Это и есть ответ: конечная длина колонны L*$u-2V$/$u-V$.

Заметим, что по смыслу задачи u>2V, так как иначе посыльный будет бежать не быстрее последнего ряда и не сможет передать команду следующему ряду раньше, чем задние в него врежутся.