Пусть мы обозначим угол $BAO$ как $\alpha$.

Из условия задачи у нас есть трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, в которой отмечена точка $O$. Даны равенства: $AO=BO=CO=BC$ и $DA=DO=DC$.

Давайте рассмотрим треугольники $AOB$, $BOC$ и $COD$. Из равенств мы видим, что:

В треугольнике $AOB$:

$AO=BO$ $равныестороны$,угол $AOB$ будет равен $180^{\circ }-2\alpha$ $повнутреннимугламтреугольника$.

В треугольнике $BOC$:

$BO=CO$ $такжеравныестороны$,угол $BOC=180^{\circ }-2\beta$ $где(\beta )-угол(CBO)$.

Из-за свойств трапеции и того, что $AD$ и $BC$ параллельны, мы имеем:

Угол $ABC=\beta$.Угол $ADC=\beta$ $внешниеуглытреугольниковравны$.

Как следствие, $\alpha +\beta +\alpha +\beta +(180^{\circ }-2\alpha )+(180^{\circ }-2\beta )=360^{\circ }$.

Из этого уравнения можно упростить и выразить $\alpha$ и $\beta$. Однако более простой путь – это заметить, что $O$ является точкой, где равные сегменты создают симметрию.

Так как $AO=BO=CO$ и углы $AOB$, $BOC$ зависят от $\alpha$ и $\beta$, следует, что вся система находится под углом, соответствующим равнобедренным треугольникам, и поскольку $AO,BO,CO$ равны, это значит, что:

$△AOB$ равнобедренный: $\alpha =\beta$.$2\alpha +2\alpha =180^{\circ }$.

Следовательно, $4\alpha =180^{\circ }$ и, соответственно, $\alpha =45^{\circ }$.

Ответ: $\angle BAO=45^{\circ }$.