Для решения этой задачи, воспользуемся основными принципами, связанными с процессом излучения Черенкова.

Эффект Черенкова возникает, когда заряженная частица $вданномслучаерелятивистскийэлектрон$ движется в диэлектрике быстрее, чем скорость света в этом материале. Условия возникновения Черенковского излучения можно описать следующим образом:

Была определена скорость света в вакууме $c$ $приблизительно(3\times 10^8)м/с$.Скорость света в материале зависит от его показателя преломления $n$:
$$v=\frac{c}{n}$$Условие для Черенковского излучения:
[
v_e > \frac{c}{n} \implies \beta = \frac{v_e}{c} > \frac{1}{n}
]
где $\beta$ - это безразмерная скорость электрона $(v_e)-егоскорость$.

Сначала нужно определить скорость электрона. Для релятивистского электрона с кинетической энергией $K$ можно вычислить его скорость следующим образом.

Полная энергия электрона:
$$E=K+E_0=0.511\text{МэВ}+0.511\text{МэВ}=1.022\text{МэВ}$$

С помощью соотношений релятивистской механики, полная энергия выражается как:
$$E=\gamma m_0{c}^2$$ где $m_0$ - покоящаяся масса электрона, примерно равная $0.511\text{МэВ}/c^2$ и $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}$.

Мы можем найти $\beta$ зная полную и покоящуюся энергии:
$$\gamma =\frac{E}{E_0}=\frac{1.022\text{МэВ}}{0.511\text{МэВ}}\approx 2$$ $\beta$ можно найти:
$$\beta =\sqrt{1-\frac{1}{{\gamma }^2}}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Теперь необходимо определить угол критической скорости в среде:

$$\cos ({\theta }_C)=\frac{1}{n\beta }$$

Для примера, если мы подставим $n=1.5$ $приближенноезначениедлякаменнойсоли$:

Находим $\beta$:
$$1.5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=1.5\cdot 0.866\approx 1.299$$

Так как значение больше 1 это означает, что электрон может излучать Черенковское излучение, и теперь можно найти угол:

$$\cos ({\theta }_C)=\frac{1}{1.5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}\approx \frac{2}{1.5\cdot \sqrt{3}}\approx 0.774$$

Теперь найдем угол:

$${\theta }_C=\arccos (0.774)\approx 41.4^{\circ }$$

Таким образом, угол раствора конуса излучения света при взаимодействии релятивистских электронов с Черенковским счетчиком составляет приблизительно $41.4^{\circ }$.