Для решения задачи рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду (ABSTM).

Обозначим:

Сторону основания (AB) как (s).Тогда боковое ребро (AM) будет равно (2s).

Медиана грани (STM):

Так как основание (AB) является квадратом (в случае правильной четырехугольной пирамиды), точки (S) и (T) будут находиться на соответствующих смежных сторонах квадрата.Точки (S) и (T) будут иметь координаты, которые можно определить относительно центра квадрата (AB).

Высота пирамиды (h):

Для нахождения высоты пирамиды воспользуемся соотношением между высотой (h), боковым ребром (AM = 2s) и полустороной основания (\frac{s\sqrt{2}}{2}):
[
AM^2 = h^2 + \left(\frac{s\sqrt{2}}{2}\right)^2
]
Подставляем:
[
(2s)^2 = h^2 + \left(\frac{s\sqrt{2}}{2}\right)^2
]
[
4s^2 = h^2 + \frac{s^2}{2}
]
[
h^2 = 4s^2 - \frac{s^2}{2} = \frac{8s^2 - s^2}{2} = \frac{7s^2}{2}
]
Отсюда:
[
h = \sqrt{\frac{7s^2}{2}} = \frac{s\sqrt{14}}{2}
]

Найдем координаты точек:

Обозначим координаты точек:
(A(0, 0, 0))(B(s, 0, 0))(S(0, s, 0))(T(s, s, 0))(M\left(\frac{s}{2}, \frac{s}{2}, \frac{s\sqrt{14}}{2}\right))

Координаты точки (K) (середины отрезков (ST)):

Так как (K) - это центр основания квадрата (ST):
[
K\left(\frac{s}{2}, s, 0\right)
]

Теперь можем найти векторы:

Вектор (AM):
[
\vec{AM} = \left(\frac{s}{2}, \frac{s}{2}, \frac{s\sqrt{14}}{2}\right) - (0,0,0) = \left(\frac{s}{2}, \frac{s}{2}, \frac{s\sqrt{14}}{2}\right)
]Вектор (BK):
[
\vec{BK} = K - B = \left(\frac{s}{2}, s, 0\right) - (s,0,0) = \left(-\frac{s}{2}, s, 0\right)
]

Угол между векторами (AM) и (BK) находим по формуле:
[
\cos \theta = \frac{\vec{AM} \cdot \vec{BK}}{|\vec{AM}| |\vec{BK}|}
]

Вычислим скалярное произведение:
[
\vec{AM} \cdot \vec{BK} = \left(\frac{s}{2} \cdot (-\frac{s}{2}) + \frac{s}{2} \cdot s + \frac{s\sqrt{14}}{2} \cdot 0\right) = -\frac{s^2}{4} + \frac{s^2}{2} = \frac{s^2}{4}
]

Находим длины векторов:
[
|\vec{AM}| = \sqrt{\left(\frac{s}{2}\right)^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 + \left(\frac{s\sqrt{14}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{s^2}{4} + \frac{s^2}{4} + \frac{7s^2}{4}} = \sqrt{2s^2} = s\sqrt{2}
]
[
|\vec{BK}| = \sqrt{\left(-\frac{s}{2}\right)^2 + s^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{s^2}{4} + s^2} = \sqrt{\frac{5s^2}{4}} = \frac{s\sqrt{5}}{2}
]

Подставим все это в формулу:
[
\cos \theta = \frac{\frac{s^2}{4}}{s\sqrt{2} \cdot \frac{s\sqrt{5}}{2}} = \frac{\frac{s^2}{4}}{\frac{s^2 \sqrt{10}}{4}} = \frac{1}{\sqrt{10}}
]
Тогда угол:
[
\theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)
]

Таким образом, угол между прямыми (AM) и (BK) равен (\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)).