Давайте по очереди проанализируем каждое из множеств и перечислим его элементы, основываясь на заданных характеристических свойствах.

1) ( M = { x : x \in \mathbb{N}, 4 \leq x \leq 7 } )
Ответ: ( M = { 4, 5, 6, 7 } )

2) ( M = { x : x \in \mathbb{N}, 1 \leq x \leq 3 } )
Ответ: ( M = { 1, 2, 3 } )

3) ( M = { x : x \in \mathbb{Z}, -3 < x < 1 } )
Ответ: ( M = { -2, -1, 0 } )

4) ( M = { x : x \in \mathbb{Z}, -2 \leq x < 2 } )
Ответ: ( M = { -2, -1, 0, 1 } )

5) Данное выражение не совсем корректно написано. Попробуем интерпретировать: ( M = { x : x \in \mathbb{N}, 2 < x < 6 } )
Ответ: ( M = { 3, 4, 5 } )

6) ( M = { x : x \in \mathbb{N}, x \leq 4.5 } )
Ответ: ( M = { 1, 2, 3, 4 } )

7) ( M = { x : x \in \mathbb{Z}, 3x^2 + 2x - 1 = 0 } )
Решим уравнение:
( 3x^2 + 2x - 1 = 0 )
Дискриминант: ( D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 ).
Корни: ( x_1 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{1}{3}, \, x_2 = \frac{-2 - 4}{6} = -1 )
Так как ( \frac{1}{3} \notin \mathbb{Z} ), то {( -1 )}
Ответ: ( M = { -1 } )

8) ( M = { x : x \in \mathbb{Z}, 4x^2 - 7x - 2 = 0 } )
Решим данное уравнение:
( 4x^2 - 7x - 2 = 0 )
Дискриминант: ( D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81 ).
Корни: ( x_1 = \frac{7 + 9}{8} = 2, \, x_2 = \frac{7 - 9}{8} = -\frac{1}{4} )
Ответ: ( M = { 2 } ) (так как ( -\frac{1}{4} \notin \mathbb{Z} ))

Итак, итоговые элементы множеств:
1) ( M = { 4, 5, 6, 7 } )
2) ( M = { 1, 2, 3 } )
3) ( M = { -2, -1, 0 } )
4) ( M = { -2, -1, 0, 1 } )
5) ( M = { 3, 4, 5 } )
6) ( M = { 1, 2, 3, 4 } )
7) ( M = { -1 } )
8) ( M = { 2 } )