Давайте решим все задачи в вашем варианте контрольной работы по геометрии.

1. Найди гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 12 см.

По теореме Пифагора:
[
c = \sqrt{a^2 + b^2},
]
где ( a = 5 ) см и ( b = 12 ) см.

Подставим значения:
[
c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}.
]
Ответ: Гипотенуза равна 13 см.

2. Найдите другую сторону прямоугольника, если одна сторона равна 7, а диагональ 25.

По теореме Пифагора:
[
d = \sqrt{a^2 + b^2},
]
где ( d = 25 ) и ( a = 7 ).

Подставим значения и найдем ( b ):
[
25 = \sqrt{7^2 + b^2} \implies 25^2 = 49 + b^2 \implies 625 = 49 + b^2 \implies b^2 = 625 - 49 = 576.
]
Корень из этого значения:
[
b = \sqrt{576} = 24.
]
Ответ: Другая сторона равна 24.

3. Найдите катет, если гипотенуза равна 25 дм, а второй катет 15 дм.

По теореме Пифагора:
[
c = \sqrt{a^2 + b^2},
]
где ( c = 25 ) дм и ( b = 15 ).

Найдем ( a ):
[
25 = \sqrt{a^2 + 15^2} \implies 25^2 = a^2 + 225 \implies 625 = a^2 + 225 \implies a^2 = 625 - 225 = 400.
]
Корень из этого значения:
[
a = \sqrt{400} = 20.
]
Ответ: Катет равен 20 дм.

4. Найдите (\sin 4), если ( a = \frac{1}{2} ).

Для нахождения (\sin) расстояние нужно использовать радианы или соответственно значение угла в градусах. Непосредственно мы можем просто сказать, что необходимо использовать таблицу значений или калькулятор:
[
\sin 4 \approx -0,7568.
]
Следует обратить внимание на величину угла (градусы или радианы).

5. Найдите тангенс угла ( A ) треугольника ( ABC ).

Тангенс определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему:
[
\tan A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}.
]
Ответ: Тангенс угла ( A ) равен (\frac{8}{17}).

6. Найдите высоту равностороннего треугольника со стороной 6 см.

Высота ( h ) равностороннего треугольника определяется по формуле:
[
h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a,
]
где ( a = 6 \text{ см} ).
[
h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 3\sqrt{3} \approx 5.196 \text{ см}.
]
Ответ: Высота равностороннего треугольника равна ( 3\sqrt{3} ) см.

7. Найдите площадь равнобедренной трапеции, основания которой равны 5 см и 17 см, боковая сторона равна 10 см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:
[
S = \frac{(a + b)}{2} \cdot h.
]
Чтобы найти высоту, можно использовать теорему Пифагора. Разделим трапецию на прямоугольный треугольник и прямоугольник, высота будет h. Используем разницу оснований:
[
h^2 + x^2 = 10^2,
]
где ( x = \frac{b - a}{2} = \frac{17 - 5}{2} = 6 ).
Таким образом:
[
h^2 + 6^2 = 100 \implies h^2 = 100 - 36 = 64 \implies h = 8.
]
Подставим в формулу площади:
[
S = \frac{(5 + 17)}{2} \cdot 8 = \frac{22}{2} \cdot 8 = 11 \cdot 8 = 88 \text{ см}^2.
]
Ответ: Площадь равнобедренной трапеции равна 88 см².

8. Найдите отношение площадей четырехугольников ABEF и DCEF.

Используя данные о делении:

( BE: EC = 3:4 ) (обозначим площади ABEF как x).( AF: FD = 2:3 ) (обозначим площади DCEF как y).

Площади будут пропорциональны относительным участкам. Если ( S_{\text{ABEF}} = x ), то:
[
\frac{x}{y} = \frac{BE}{EC} \cdot \frac{AF}{FD} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.
]
Итак, отношение площадей:
[
\text{Площадь } ABEF : \text{Площадь } DCEF = 1:2.
]
Ответ: ( 1:2 ).