Оба варианта корректны, но в разных контекстах.

"Вокруг него" используется, когда речь идет о том, что что-то происходит вокруг конкретного человека ("Все смотрели вокруг него").

"Вокруг его" может использоваться, если за исключением притяжательного местоимения вы хотите поставить какое-то слово или выражение в родительном падеже, например, описывая его состояние или находящиеся рядом предметы ("Вокруг его шеи висела цепочка").