Да, эти слова являются родственными. Все они происходят от основы "хлеб", которая обозначает пищевой продукт, который употребляется в питании.

Слово "нахлебник" происходит от слова "хлеб", означающего поедателя хлеба, т.е. человека, который пользуется чужим трудом и средствами.

Слово "хлебница" также происходит от слова "хлеб" и обозначает приспособление для хранения или транспортировки хлеба.

Слово "хлебать" образовано от того же корня и означает употреблять пищу, в том числе и хлеб.