Фраза "выйти на республику" в данном контексте вероятно означает начать действовать в определенной сфере или пространстве, стать известным или активным на территории республики или в определенной общественной области. Например, если говорят, что кто-то "вышел на республику", это может значить, что этот человек начал успешно работать или действовать в рамках республики, пользуясь популярностью или признанием.