1 — проведя серьёзные приготовления — действие вводится пояснительной частью.
2 — два военных судна — поясняется, какие именно суда были отправлены.
3 — ,,Мирный,, и ,,Восток,, — перечисление конкретных названий судов, поэтому ставится тире.
4 — выдвинулись из Кронштадта и отправились долгое опасное плавание — действие вводится посредством пояснительной части.
5 — ,,Востоком,, руководил капитан Фаддей Беллинсгаузен — причастный оборот.
6 — Михаил Лазарев — дополнение к подлежащему.
7 — подтвердить или не подтвердить гипотезу о шестом материке — действие вводится посредством пояснительной части.
8 — или не подтвердить — действие вводится сочинительным союзом "или".
9 — Антарктиде — пояснение, к какому месту относится гипотеза.