Правильно кашляющий

Слово "кашляющий" пишется с суффиксами -я- и -ющ-.

А правило здесь такое.

"Кашляющий" - это действительное причастие настоящего времени. А подобные причастия образуются от основы настоящего времени глагола с помощью суффикса -ущ- (-ющ-) или -ащ- (-ящ-). В настоящем времени глагол будет звучать так: "кашляет", основа -кашля-. Т.к. глагол "кашлять" относится к первому спряжению, то причастие от него образуется с помощью суффикса -ущ- (-ющ-).

Получается "кашля + ющ" = "кашляющий".