Правильно будет написать: «У меня сломана нога и рука».

Правило, по которому определяется форма прилагательного в этом случае, заключается в том, что при наличии нескольких существительных, подлежащих одному прилагательному, оно используется в единственном числе ижсогласуется с последним из этих существительных.