Сначала найдем элементарную площадку dS на поверхности кольца. Для этого возьмем кольцо с радиусом r и малой шириной dr. Тогда площадь элементарной площадки dS равна 2πr dr.

Так как поле в точке нормально к поверхности кольца, для расчета потока через элементарную площадку dS можно воспользоваться формулой q_in = E dS cos(0), где 0 — угол между направлением электрического поля и нормалью к поверхности.

Интегрируя по всей поверхности кольца, получим, что поток электрического поля через поверхность кольца равен: Φ = E * 2πr dr.

Теперь, используя теорему Гаусса, можем записать, что поток через поверхность, ограниченную замкнутым контуром в виде кольца, равен q_in = Q_in / ε_0, где Q_in — заряд внутри кольца.

Так как поле E однородно и точка находится вдали от кольца, можно считать, что поле на элементарной площадке dS равно E, т.е. q_in = E * dS.

С учетом найденных выше соотношений, получаем: E * 2πr dr = q/E_0, откуда E = q / (2πε_0r).

Таким образом, напряженность электрического поля в плоскости кольца в точке на расстоянии r ≪ R от центра кольца равна E = q / (2πε_0r).