Во втором случае слово "не" относится к глаголу "любимый" и выступает в качестве отрицания, поэтому пишется раздельно. А в первом случае слово "не" является частью наречия "нелюбимый" и образует слитное слово, так как вместе они образуют новое значение - остров, который не любим с давних пор.