Для решения задачи нужно рассмотреть геометрические параметры круга и вписанного в него квадрата.

Обозначим радиус круга. Пусть радиус круга ( R ). Если квадрат вписан в круг, то его диагональ равна диаметру круга, то есть ( 2R ).

Длину стороны квадрата можно найти из его диагонали. Если обозначить сторону квадрата буквой ( a ), то по теореме Пифагора имеем:
[
a\sqrt{2} = 2R \Rightarrow a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}.
]

Теперь найдем площадь квадрата со стороной 5 единиц. Площадь квадрата:
[
S_{квадрата} = 5^2 = 25 \text{ квадратных единиц}.
]

Площадь круга с радиусом ( R ):
[
S_{круга} = \pi R^2.
]

Если квадрат со стороной 5 единиц вписан в круг, радиус круга должен быть больше или равен ( \frac{5\sqrt{2}}{2} ) (половина диагонали квадрата). То есть:
[
R \geq \frac{5\sqrt{2}}{2}.
]

Теперь найдем вероятность того, что случайно выбранная точка в круге окажется внутри квадрата. Вероятность определяется как отношение площади квадрата к площади круга:
[
P = \frac{S{квадрата}}{S{круга}} = \frac{25}{\pi R^2}.
]

Чтобы подставить значение радиуса, необходимо знать его. Если мы примем ( R = \frac{5\sqrt{2}}{2} ) (это минимальный радиус, при котором квадрат ещё полностью вписывается в круг), то:
[
S_{круга} = \pi \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{25 \cdot 2}{4}\right) = \frac{25\pi}{2}.
]

Вероятность в этом случае будет:
[
P = \frac{25}{\frac{25\pi}{2}} = \frac{25 \cdot 2}{25\pi} = \frac{2}{\pi}.
]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка внутри круга окажется внутри квадрата со стороной 5 единиц, если квадрат вписан в круг, равна ( \frac{2}{\pi} ) или примерно ( 0.6366 ).