Давайте разберем каждый фразеологизм из указанных вами предложений и исправим ошибки.

Мы идем в ногу со своим временем.

Ошибка: Фраза используется правильно.Объяснение: "Идти в ногу со временем" означает следовать современным тенденциям, быть в курсе новшеств и изменений. В данном случае фразеологизм употребляется корректно.

Решение задачи привело в тупик.

Ошибка: Правильный вариант: "Решение задачи привело к тупику."Объяснение: Фразеологизм "привести к тупику" означает, что что-то закончилось без выходных решений или вариантов. В данном случае конструкция "привело в тупик" звучит некорректно.

Нам не удалось одержать реванш над командой из другой школы.

Ошибка: Правильный вариант: "Нам не удалось одержать реванш у команды из другой школы."Объяснение: Обычно фразеологизм "одержать реванш" употребляется с предлогом "у", который указывает на противника, у которого берется реванш. В данном случае неверный предлог "над".

Он работал, опустив рукава.

Ошибка: Правильный вариант: "Он работал, не покладая рук."Объяснение: Фразеологизм "не покладая рук" означает трудиться усердно и активно, без усталости. "Опустив рукава" же означает бездействие или отсутствие стараний. Получается, что данный фразеологизм использован неуместно, поскольку смысл противоположен.

Таким образом, исправленный вариант фразеологических выражений выглядит так:

Мы идем в ногу со своим временем.Решение задачи привело к тупику.Нам не удалось одержать реванш у команды из другой школы.Он работал, не покладая рук.