Решим каждое из уравнений по порядку.

а) $5x^2-x+1=0$

Для решения такого уравнения применим дискриминант:

$$D=b^2-4ac=(-1{)}^2-4\cdot 5\cdot 1=1-20=-19$$

Так как дискриминант отрицателен ((D < 0)), у уравнения нет действительных корней.

б) $2x^4-5x^2+3=0$

Пусть $y=x^2$. Тогда уравнение примет вид:

$$2y^2-5y+3=0$$

Находим дискриминант:

$$D=(-5{)}^2-4\cdot 2\cdot 3=25-24=1$$

Корни:

$$y_1=\frac{5+\sqrt{1}}{2\cdot 2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$$ $$y_2=\frac{5-\sqrt{1}}{2\cdot 2}=\frac{4}{4}=1$$

Теперь возвращаемся к $x$:

$x^2=\frac{3}{2}\Rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$$x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$

Ответ: $x=\pm \sqrt{\frac{3}{2}},\pm 1$

с) $4+\sqrt{x+6}=x+1$

Переносим все в одну сторону:

$$\sqrt{x+6}=x-3$$

Возводим в квадрат:

$$x+6=(x-3{)}^2$$ $$x+6=x^2-6x+9$$ $$0=x^2-7x+3$$

Находим дискриминант:

$$D=(-7{)}^2-4\cdot 1\cdot 3=49-12=37$$

Корни:

$$x_1=\frac{7+\sqrt{37}}{2},x_2=\frac{7-\sqrt{37}}{2}$$

Проверяем, не приводит ли это к отрицательным значениям под корнем. Оба корня подходят.

д) $\frac{3}{x}+\frac{3}{x+2}=4$

Умножим на $x(x+2)$:

$$3(x+2)+3x=4x(x+2)$$ $$3x+6+3x=4x^2+8x$$ $$6x+6=4x^2+8x$$ $$0=4x^2+2x-6$$

Делим на 2:

$$0=2x^2+x-3$$

Дискриминант:

$$D=1^2-4\cdot 2\cdot (-3)=1+24=25$$

Корни:

$$x_1=\frac{-1+5}{4}=1,x_2=\frac{-1-5}{4}=-\frac{3}{2}$$

е) $1+\frac{x}{2}-2x-\frac{1}{3}=2$

Убираем дроби, умножая на 6:

$$6+3x-12x-2=12$$ $$-9x+4=12$$ $$-9x=8\Rightarrow x=-\frac{8}{9}$$

Итак, итоговые решения:

а) нет действительных корнейб) $x=\pm \sqrt{\frac{3}{2}},\pm 1$с) $x_1=\frac{7+\sqrt{37}}{2},x_2=\frac{7-\sqrt{37}}{2}$д) $x=1,-\frac{3}{2}$е) $x=-\frac{8}{9}$