Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции ( y = e^{x^2} + 3x ), необходимо выполнить следующие шаги:

Найдите производную функции ( y ).Определите критические точки, приравняв производную к нулю.Проанализируйте знаки производной на промежутках, которые образованы критическими точками.Шаг 1: Найти производную

Функция задана как ( y = e^{x^2} + 3x ). Найдем её производную:

[
y' = \frac{d}{dx}(e^{x^2}) + \frac{d}{dx}(3x)
]

Для нахождения производной ( e^{x^2} ) используем правило цепочки:

[
\frac{d}{dx}(e^{u}) = e^{u} \cdot u', \quad \text{где } u = x^2, \, u' = 2x
]

Таким образом:

[
\frac{d}{dx}(e^{x^2}) = e^{x^2} \cdot 2x
]

Теперь подставим это в выражение для производной:

[
y' = e^{x^2} \cdot 2x + 3
]

Или:

[
y' = 2x e^{x^2} + 3
]

Шаг 2: Найти критические точки

Приравняем производную к нулю:

[
2x e^{x^2} + 3 = 0
]
[
2x e^{x^2} = -3
]

Поскольку ( e^{x^2} ) всегда положительно, произведение ( 2x e^{x^2} ) будет равно -3 только в том случае, если ( x < 0 ) и ( 2x ) также будет отрицательным. Таким образом, у нас есть:

[
2x = -\frac{3}{e^{x^2}}
]

Это уравнение не имеет простого аналитического решения, но мы можем использовать численные методы или графический анализ, чтобы найти приближенное значение нуля.

Шаг 3: Анализ знаков производной

Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции, проанализируем знак производной ( y' = 2x e^{x^2} + 3 ).

Выразим это следующим образом:

Если ( y' > 0 ), то функция возрастает.Если ( y' < 0 ), то функция убывает.

Определим значения функции в нескольких точках:

В точке ( x = -2 ):
[
y'(-2) = 2(-2)e^{(-2)^2} + 3 = -4e^4 + 3 < 0
]

В точке ( x = -1 ):
[
y'(-1) = 2(-1)e^{(-1)^2} + 3 = -2e + 3 \approx -2 \cdot 2.718 + 3 \approx -5.436 + 3 < 0
]

В точке ( x = 0 ):
[
y'(0) = 2(0)e^{0^2} + 3 = 3 > 0
]

Чем больше ( x ), тем больше ( y' ) становится положительным, поскольку ( e^{x^2} ) растет намного быстрее, чем линейный член ( 3x ).

Итоги:Функция убывает на промежутках ( (-\infty, x_c) ), где ( x_c ) - такая точка, для которой ( 2x e^{x^2} + 3 = 0 ).Функция возрастает на промежутках ( (x_c, \infty) ).

Таким образом, чтобы найти точное значение ( x_c ), можно использовать численные методы или графический подход.