В предложении «Встречные солдаты козыряли офицерам, гимназисты кланялись Никитину; и, видимо, всем гуляющим, спешившим в сад на музыку, было очень приятно глядеть на кавалькаду» используются причастия "гуляющим" и "спешившим".

Гуляющим – это причастие, образованное от глагола "гулять". Оно указывает на действительных лиц в процессе действия $гуляющиелюди$. Причастие здесь употребляется в качестве атрибута, описывающего группу людей, находящихся в определенном действии $гуляют$.

Спешившим – это причастие, образованное от глагола "спешить". Оно также указывает на действительных лиц, но в данном случае акцент делается на том, что эти люди находятся в состоянии спешки $спешаткуда-то$.

Таким образом, основное различие между причастиями заключается в том, что "гуляющим" обозначается процесс прогулки, а "спешившим" – процесс спешки. В контексте предложения эти причастия описывают разные действия, совершаемые одной и той же группой людей $гуляющиевсадулюдиспешатнамузыку$.