Задачка по геометрии B равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС к боковой стороне АВ проведена медиана CD, равная 13 см. Периметр треугольника DBC больше периметра треугольника ADC на 19 см. Найдите стороны треугольника АВС, если его периметр равен 53 см.
AB=AC=x AB = AC = x AB=AC=xт.к.треугольникравнобедренныйт.к. треугольник равнобедренныйт.к.треугольникравнобедренный,BC=y BC = y BC=y.
Тогда периметр треугольника ABC ABC ABC можно записать как: PABC=AB+AC+BC=x+x+y=2x+y=53(1)
P_{ABC} = AB + AC + BC = x + x + y = 2x + y = 53 \quad (1) PABC=AB+AC+BC=x+x+y=2x+y=53(1)
Медиана CD CD CD делит сторону AB AB AB пополам, поэтому: AD=DB=x2.
AD = DB = \frac{x}{2}. AD=DB=2x.
Теперь найдем периметры треугольников DBC DBC DBC и ADC ADC ADC: P<em>ADC=AD+DC+AC=x2+13+x=3x2+13.
P<em>{ADC} = AD + DC + AC = \frac{x}{2} + 13 + x = \frac{3x}{2} + 13. P<em>ADC=AD+DC+AC=2x+13+x=23x+13.P</em>DBC=DB+DC+BC=x2+13+y=x2+13+y.
P</em>{DBC} = DB + DC + BC = \frac{x}{2} + 13 + y = \frac{x}{2} + 13 + y. P</em>DBC=DB+DC+BC=2x+13+y=2x+13+y.
Согласно условию задачи, периметр треугольника DBC DBC DBC больше периметра треугольника ADC ADC ADC на 19 см: (x2+13+y)−(3x2+13)=19.
\left( \frac{x}{2} + 13 + y \right) - \left( \frac{3x}{2} + 13 \right) = 19. (2x+13+y)−(23x+13)=19.
Упрощаем это уравнение: x2+13+y−3x2−13=19,
\frac{x}{2} + 13 + y - \frac{3x}{2} - 13 = 19, 2x+13+y−23x−13=19,x2−3x2+y=19,
\frac{x}{2} - \frac{3x}{2} + y = 19, 2x−23x+y=19,−y=19−x,
-y = 19 - x, −y=19−x,y=x−19(2).
y = x - 19 \quad (2). y=x−19(2).
Теперь подставим выражение для y y y из уравнения 222 в уравнение 111: 2x+(x−19)=53,
2x + (x - 19) = 53, 2x+(x−19)=53,3x−19=53,
3x - 19 = 53, 3x−19=53,3x=72,
3x = 72, 3x=72,x=24.
x = 24. x=24.
Теперь подставим значение x x x обратно, чтобы найти y y y: y=24−19=5.
y = 24 - 19 = 5. y=24−19=5.
Таким образом, стороны треугольника ABC ABC ABC равны:
AB=AC=24 см AB = AC = 24 \, \text{см} AB=AC=24см,BC=5 см BC = 5 \, \text{см} BC=5см.
Проверим: Периметр треугольника: AB+AC+BC=24+24+5=53 см.
AB + AC + BC = 24 + 24 + 5 = 53 \, \text{см}. AB+AC+BC=24+24+5=53см.
Обозначим длины сторон треугольника ABC ABC ABC:
AB=AC=x AB = AC = x AB=AC=x т.к.треугольникравнобедренныйт.к. треугольник равнобедренныйт.к.треугольникравнобедренный,BC=y BC = y BC=y.Тогда периметр треугольника ABC ABC ABC можно записать как:
PABC=AB+AC+BC=x+x+y=2x+y=53(1) P_{ABC} = AB + AC + BC = x + x + y = 2x + y = 53 \quad (1)
PABC =AB+AC+BC=x+x+y=2x+y=53(1)
Медиана CD CD CD делит сторону AB AB AB пополам, поэтому:
AD=DB=x2. AD = DB = \frac{x}{2}.
AD=DB=2x .
Теперь найдем периметры треугольников DBC DBC DBC и ADC ADC ADC:
P<em>ADC=AD+DC+AC=x2+13+x=3x2+13. P<em>{ADC} = AD + DC + AC = \frac{x}{2} + 13 + x = \frac{3x}{2} + 13.
P<em>ADC=AD+DC+AC=2x +13+x=23x +13. P</em>DBC=DB+DC+BC=x2+13+y=x2+13+y. P</em>{DBC} = DB + DC + BC = \frac{x}{2} + 13 + y = \frac{x}{2} + 13 + y.
P</em>DBC=DB+DC+BC=2x +13+y=2x +13+y.
Согласно условию задачи, периметр треугольника DBC DBC DBC больше периметра треугольника ADC ADC ADC на 19 см:
(x2+13+y)−(3x2+13)=19. \left( \frac{x}{2} + 13 + y \right) - \left( \frac{3x}{2} + 13 \right) = 19.
(2x +13+y)−(23x +13)=19.
Упрощаем это уравнение:
x2+13+y−3x2−13=19, \frac{x}{2} + 13 + y - \frac{3x}{2} - 13 = 19,
2x +13+y−23x −13=19, x2−3x2+y=19, \frac{x}{2} - \frac{3x}{2} + y = 19,
2x −23x +y=19, −y=19−x, -y = 19 - x,
−y=19−x, y=x−19(2). y = x - 19 \quad (2).
y=x−19(2).
Теперь подставим выражение для y y y из уравнения 222 в уравнение 111:
2x+(x−19)=53, 2x + (x - 19) = 53,
2x+(x−19)=53, 3x−19=53, 3x - 19 = 53,
3x−19=53, 3x=72, 3x = 72,
3x=72, x=24. x = 24.
x=24.
Теперь подставим значение x x x обратно, чтобы найти y y y:
y=24−19=5. y = 24 - 19 = 5.
y=24−19=5.
Таким образом, стороны треугольника ABC ABC ABC равны:
AB=AC=24 см AB = AC = 24 \, \text{см} AB=AC=24см,BC=5 см BC = 5 \, \text{см} BC=5см.Проверим:
Периметр треугольника:
AB+AC+BC=24+24+5=53 см. AB + AC + BC = 24 + 24 + 5 = 53 \, \text{см}.
AB+AC+BC=24+24+5=53см.
Периметры треугольников ADC ADC ADC и DBC DBC DBC:
P<em>ADC=242+13+24=12+13+24=49, P<em>{ADC} = \frac{24}{2} + 13 + 24 = 12 + 13 + 24 = 49,
P<em>ADC=224 +13+24=12+13+24=49, P</em>DBC=242+13+5=12+13+5=30. P</em>{DBC} = \frac{24}{2} + 13 + 5 = 12 + 13 + 5 = 30.
P</em>DBC=224 +13+5=12+13+5=30.
Разность периметров:
P<em>DBC−P</em>ADC=30−49=19. P<em>{DBC} - P</em>{ADC} = 30 - 49 = 19.
P<em>DBC−P</em>ADC=30−49=19. Это соответствует условию задачи.
Таким образом, стороны треугольника ABC ABC ABC равны 24 см,24 см 24 \, \text{см}, 24 \, \text{см} 24см,24см и 5 см 5 \, \text{см} 5см.