Задачка по геометрии B равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС к боковой стороне АВ проведена медиана CD, равная 13 см. Периметр треугольника DBC больше периметра треугольника ADC на 19 см. Найдите стороны треугольника АВС, если его периметр равен 53 см.

18 Дек 2024 в 19:40
31 +1
0
Ответы
1

Обозначим длины сторон треугольника ABC ABC ABC:

AB=AC=x AB = AC = x AB=AC=x т.к.треугольникравнобедренныйт.к. треугольник равнобедренныйт.к.треугольникравнобедренный,BC=y BC = y BC=y.

Тогда периметр треугольника ABC ABC ABC можно записать как:
PABC=AB+AC+BC=x+x+y=2x+y=53(1) P_{ABC} = AB + AC + BC = x + x + y = 2x + y = 53 \quad (1)
PABC =AB+AC+BC=x+x+y=2x+y=53(1)

Медиана CD CD CD делит сторону AB AB AB пополам, поэтому:
AD=DB=x2. AD = DB = \frac{x}{2}.
AD=DB=2x .

Теперь найдем периметры треугольников DBC DBC DBC и ADC ADC ADC:
P<em>ADC=AD+DC+AC=x2+13+x=3x2+13. P<em>{ADC} = AD + DC + AC = \frac{x}{2} + 13 + x = \frac{3x}{2} + 13.
P<em>ADC=AD+DC+AC=2x +13+x=23x +13.
P</em>DBC=DB+DC+BC=x2+13+y=x2+13+y. P</em>{DBC} = DB + DC + BC = \frac{x}{2} + 13 + y = \frac{x}{2} + 13 + y.
P</em>DBC=DB+DC+BC=2x +13+y=2x +13+y.

Согласно условию задачи, периметр треугольника DBC DBC DBC больше периметра треугольника ADC ADC ADC на 19 см:
(x2+13+y)−(3x2+13)=19. \left( \frac{x}{2} + 13 + y \right) - \left( \frac{3x}{2} + 13 \right) = 19.
(2x +13+y)(23x +13)=19.

Упрощаем это уравнение:
x2+13+y−3x2−13=19, \frac{x}{2} + 13 + y - \frac{3x}{2} - 13 = 19,
2x +13+y23x 13=19,
x2−3x2+y=19, \frac{x}{2} - \frac{3x}{2} + y = 19,
2x 23x +y=19,
−y=19−x, -y = 19 - x,
y=19x,
y=x−19(2). y = x - 19 \quad (2).
y=x19(2).

Теперь подставим выражение для y y y из уравнения 222 в уравнение 111:
2x+(x−19)=53, 2x + (x - 19) = 53,
2x+(x19)=53,
3x−19=53, 3x - 19 = 53,
3x19=53,
3x=72, 3x = 72,
3x=72,
x=24. x = 24.
x=24.

Теперь подставим значение x x x обратно, чтобы найти y y y:
y=24−19=5. y = 24 - 19 = 5.
y=2419=5.

Таким образом, стороны треугольника ABC ABC ABC равны:

AB=AC=24 см AB = AC = 24 \, \text{см} AB=AC=24см,BC=5 см BC = 5 \, \text{см} BC=5см.

Проверим:
Периметр треугольника:
AB+AC+BC=24+24+5=53 см. AB + AC + BC = 24 + 24 + 5 = 53 \, \text{см}.
AB+AC+BC=24+24+5=53см.

Периметры треугольников ADC ADC ADC и DBC DBC DBC:
P<em>ADC=242+13+24=12+13+24=49, P<em>{ADC} = \frac{24}{2} + 13 + 24 = 12 + 13 + 24 = 49,
P<em>ADC=224 +13+24=12+13+24=49,
P</em>DBC=242+13+5=12+13+5=30. P</em>{DBC} = \frac{24}{2} + 13 + 5 = 12 + 13 + 5 = 30.
P</em>DBC=224 +13+5=12+13+5=30.

Разность периметров:
P<em>DBC−P</em>ADC=30−49=19. P<em>{DBC} - P</em>{ADC} = 30 - 49 = 19.
P<em>DBCP</em>ADC=3049=19.
Это соответствует условию задачи.

Таким образом, стороны треугольника ABC ABC ABC равны 24 см,24 см 24 \, \text{см}, 24 \, \text{см} 24см,24см и 5 см 5 \, \text{см} 5см.

18 Дек 2024 в 19:45
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Прямой эфир