Давайте решим каждую из задач.

Условие: Точки К и М делят диагональ BD трапеции ABCD на три равные части. Площадь треугольника СКМ равна 3 см². Найдите площадь трапеции, если основание AD в два раза длиннее BC.

Обозначим длину основания BC равной $x$, тогда длина основания AD будет $2x$.

Диагональ BD делится на три равные части, а значит, $BK=KM=MD=\frac{BD}{3}$.

Существует известное соотношение, что площадь треугольника, образованного секущей $вданномслучаеотрезкамиКиМ$ и основаниями трапеции, будет пропорциональна площади трапеции:

$$S<em>СКМ=\frac{S</em>ABCD}{9}$$

Отсюда находим площадь трапеции:

$$S<em>ABCD=9\cdot S</em>СКМ=9\cdot 3=27{\text{см}}^2.$$

Ответ: Площадь трапеции ABCD равна 27 см².

Условие: В равнобедренной трапеции угол между диагоналями равен 60 градусов, основания равны 2 и 6. Найдите площадь трапеции.

Обозначим основания трапеции как $a=2$ и $b=6$. Высота равнобедренной трапеции может быть найдена через угол между диагоналями и формулу для площади.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$$S=\frac{(a+b)\cdot h}{2},$$

где $h$ – высота трапеции. В равнобедренной трапеции высокодоходный угол может быть выражен через половину угла между диагоналями; в нашем случае это $30^{\circ }$.

Определим высоту через синус:

Пусть $c$ – длина боковой стороны. В этом случае высота $h$ будет равна:

$$h=c\cdot \sin (30^{\circ })=\frac{c}{2}.$$

С учетом подобия треугольников, отрезки оснований можно выразить:

$$c=\sqrt{h^2+d^2},$$

где $d=\frac{b-a}{2}=\frac{6-2}{2}=2$.

Подставим $h=c/2$ в уравнение:

$$c^2={\left(\frac{c}{2}\right)}^2+2^2,$$ $$c^2=\frac{c^2}{4}+4.$$

Умножив обе стороны на 4:

$$4c^2=c^2+16,$$ $$3c^2=16⟹c^2=\frac{16}{3}⟹c=\frac{4}{\sqrt{3}}.$$

Теперь можем найти высоту:

$$h=\frac{c}{2}=\frac{2}{\sqrt{3}}.$$

Теперь подставляем в формулу площади:

$$S=\frac{(2+6)\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}{2}=\frac{8\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}{2}=\frac{8}{\sqrt{3}}\approx \mathrm{4.62.}$$

Ответ: Площадь равнобедренной трапеции составляет $\frac{8}{\sqrt{3}}$ или примерно $4.62$ см².