В предложении «он обещал приехать проводить сестру» грамматическая основа — это группа слов «он обещал», где «он» — подлежащее, а «обещал» — сказуемое.

В части «приехать проводить сестру» слово «проводить» функционирует как инфинитив, который выполняет роль дополнения к глаголу «обещал». То есть он обещал не просто приехать, а выполнить определенное действие — провести сестру.

Таким образом, «приехать» и «проводить» связаны, но «проводить» здесь является дополнительным действием, связанным с первым (приездом). Если бы не было этого инфинитива, предложение было бы неполным, так как неясно, с какой целью он собирается приехать.