Для решения задачи найдем площадь треугольника ( ABK ).

Определим координаты точек:

Пусть квадрат ABCD находится в плоскости XY. Тогда координаты его вершин можно задать следующим образом:
( A(0, 0, 0) )( B(2, 0, 0) )( C(2, 2, 0) )( D(0, 2, 0) )Точка ( K ) расположена на перпендикуляре, проведённом из точки ( D ) к плоскости, и имеет координаты:
( K(0, 2, 2) )

Вычислим векторы ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{AK} ):

Вектор ( \overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (2, 0, 0) )Вектор ( \overrightarrow{AK} = K - A = (0 - 0, 2 - 0, 2 - 0) = (0, 2, 2) )

Найдем площадь треугольника ( ABK ):

Площадь треугольника можно найти по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \cdot | \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AK} |
]Сначала вычислим векторное произведение ( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AK} ):
[
\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AK} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
2 & 0 & 0 \
0 & 2 & 2
\end{vmatrix}
]Вычисляем определитель:
[
= \mathbf{i}(0 \cdot 2 - 0 \cdot 2) - \mathbf{j}(2 \cdot 2 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(2 \cdot 2 - 0 \cdot 0)
]
[
= 0\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 4\mathbf{k} = (0, -4, 4)
]

Найдем модуль векторного произведения:
[
| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AK} | = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{0 + 16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}
]

Вычислим площадь треугольника:
[
S = \frac{1}{2} \cdot | \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AK} | = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \, \text{см}^2
]

Итак, площадь треугольника ( ABK ) равна ( 2\sqrt{2} \, \text{см}^2 ).