В данном предложении "На третий день рождества Николай обедал дома, что в последнее время редко случалось с ним" мы имеем сложное предложение. Оно состоит из главного предложения ("На третий день рождества Николай обедал дома") и придаточного предложения ("что в последнее время редко случалось с ним").

Придаточное предложение объясняет или уточняет информацию о главном, указывая на то, что обедать дома в последнее время для Николая было редкостью. Таким образом, это сложное предложение с придаточным определительным.