В треугольнике ABC медианы ( AA_1 ), ( BB_1 ) и ( CC_1 ) пересекаются в точке ( O ), которая является центроидом треугольника. Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, где большая часть находится от вершины до центра, а меньшая — от центра до основания.
Медиана ( BB_1 ): Так как ( O ) делит медиану ( BB_1 ) в отношении 2:1, и ( OB_1 = 3 \, \text{см} ), то: [ OB = \frac{2}{3}BB_1 \implies BB_1 = \frac{3 \cdot OB_1}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2} = 4.5 \, \text{см} ]
Медиана ( CC_1 ): Аналогично, так как ( O ) делит медиану ( CC_1 ) в том же отношении, и ( CO = 4 \, \text{см} ) (так как ( CO = \frac{1}{3}CC_1 )): [ CO = \frac{1}{3}CC_1 \implies CO = 4 \implies CC_1 = 3 \cdot CO = 3 \cdot 4 = 12 \, \text{см} ]
В треугольнике ABC медианы ( AA_1 ), ( BB_1 ) и ( CC_1 ) пересекаются в точке ( O ), которая является центроидом треугольника. Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, где большая часть находится от вершины до центра, а меньшая — от центра до основания.
Дано:
( AO = 4 \, \text{см} )( OB_1 = 3 \, \text{см} )( CC_1 = 12 \, \text{см} )Находим длины медиан:Медиана ( AA_1 ):
[
AO = \frac{2}{3}AA_1 \implies AA_1 = \frac{3 \cdot AO}{2} = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6 \, \text{см}
]
Медиана ( BB_1 ):
Так как ( O ) делит медиану ( BB_1 ) в отношении 2:1, и ( OB_1 = 3 \, \text{см} ), то:
[
OB = \frac{2}{3}BB_1 \implies BB_1 = \frac{3 \cdot OB_1}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2} = 4.5 \, \text{см}
]
Медиана ( CC_1 ):
Результаты:( AA_1 = 6 \, \text{см} )( OB = 4.5 \, \text{см} )( CC_1 = 12 \, \text{см} )( CO = 4 \, \text{см} )Аналогично, так как ( O ) делит медиану ( CC_1 ) в том же отношении, и ( CO = 4 \, \text{см} ) (так как ( CO = \frac{1}{3}CC_1 )):
[
CO = \frac{1}{3}CC_1 \implies CO = 4 \implies CC_1 = 3 \cdot CO = 3 \cdot 4 = 12 \, \text{см}
]
Таким образом, найдены все длины медиан и соответствующих им частей.