В русском языке правила постановки запятой зависят от структуры предложения и от того, является ли определённая часть предложения обособленной.

В первом предложении «Мы знаем, что, когда берёшь грибы, лучше их срезать ножом...», запятая после «что» нужна, потому что «когда берёшь грибы» — это обособленный временной оборот, который уточняет информацию о том, когда происходит «лучше срезать ножом». Обособленные обороты, такие как этот, отделяются запятыми.

Во втором предложении «Он только помнил, что когда он сам кончил курс ученья...», запятая не ставится, потому что оборот «когда он сам кончил курс ученья» не является обособленным. Здесь «что» вводит subordinate (придаточное предложение), где нет необходимости выделять конструкцию «когда он сам кончил курс ученья» запятыми, так как она тесно связана с главным предложением и не требует обособления.

Таким образом, различие в использовании запятой в ваших примерах заключается в наличии или отсутствии обособленного оборота.