В вашем предложении необходимо расставить запятые для выделения обособленных членов предложения. Вот исправленный вариант с запятыми и пояснением их использования:

"Щурка, сидел облокотившись на стол и задумчиво подперев щёку ладонью, с нежностью смотрел на брата, усердно писавшего что-то в тетради."

Запятая после "Щурка" - здесь она обособляет вводное обстоятельство - "сидел облокотившись на стол и задумчиво подперев щёку ладонью". Это пояснительное уточнение состояния субъекта.

Запятая после "ладонью" - она обособляет пояснительное предложение, которое не является частью главного.

Запятая перед "усердно" - это необходимо для разделения главного предложения и оборота "усердно писавшего что-то в тетради". Данное предложение является уточнением к действию "смотрел".

Таким образом, правильное оформление помогает лучше воспринимать структуру предложения и его смысл.