Правильный вариант написания — «по-новому». Написание через дефис для наречий с «по-» определяется несколькими критериями:

Сложные наречия: Если наречие образовано с помощью приставки «по-» и прилагательного, то оно пишется через дефис. Например: по-новому, по-старому, по-русски.

Смысловая нагрузка: Если выражение с «по-» передаёт особый смысл, который не считывается из компонентов по отдельности, это также может служить основанием для написания через дефис.

Стандартные примеры: Существуют устоявшиеся примеры, которые закреплены в русской грамматике и словарях. Слова, как по-новому или по-лицейски, служат стандартом и не вызывают сомнений.

Таким образом, в случае с «по-новому» правильным является именно дефисное написание.