Правильно: «Вследствие болезни он пропустил экзамен.»

Объяснение:

«вследствие» $слитно$ — предлог, означает «из‑за», «по причине». Указывает на причину: вследствие чего? — вследствие болезни = из‑за болезни.«в следствии» $раздельно$ — сочетание предлога «в» + существительного «следствие» $впредложномиливинительномпадеже$. Означает «внутри/во время следствия», «в расследовании» и т. п.

Тесты, помогающие проверить написание:

Замена синонимом «из‑за/по причине/в результате»: если можно подставить «из‑за» или «по причине», пишем слитно.
Пример: «Вследствие болезни он пропустил экзамен.» → «Из‑за болезни он пропустил экзамен.» $подстановкивозможны\to слитно$.Попробуйте вставить определение между «в» и «следствии» $например,«всамомследствии»,«втомследствии»$: если вставка возможна и смысл соответствует «следствие» как расследованию — пишем раздельно.
Пример: «В самом следствии обнаружили новые улики.» $раздельно$.Задайте вопрос: означает ли слово причину $почему?$ — тогда слитно; обозначает ли место/процесс $где?/когда?$ — тогда раздельно.

Дополнительные примеры:

Слитно $причина$: «Вследствие сильного ветра паром не вышел.»Раздельно $расследование,процесс$: «В следствии по делу допрошены свидетели.»; более естественный вариант: «В ходе следствия по делу допрошены свидетели.»

Итог: в вашем предложении нужен предлог «вследствие» $слитно$.