Правильно и то, и другое — но в разных случаях и с разной орфографией.

Коротко:

"по-русски" (через дефис) — наречие, означает «на русском языке», «по-русски (говорить, писать, понимать)». Пример: Он говорит по-русски."на русском" — сочетание предлога + прилагательного (обычно подразумевается слово «языке»): «на русском (языке)», «на русском сайте» и т. п. Пример: Текст написан на русском (языке).

Замечание по орфографии: писать "по русски" без дефиса неправильно — нужно "по-русски".

Нюанс смысла: "Напиши по-русски" = напиши русскими словами/в русской форме; "Напиши на русском" = напиши на русском языке (вариант более нейтральный, часто говорят "на русском языке").