Краткий ответ

Правильно и чаще используемый вариант: «Несмотря на плохую погоду, мы решили идти пешком.» — слитно $предлог$, запятая после вводной конструкции. Значение: «вопреки плохой погоде».Вариант раздельно $«несмотряна»$ тоже возможен, но с другим смыслом: «Не смотря на плохую погоду, мы решили идти пешком.» — здесь «не смотря» воспринимается как деепричастие «не глядя» $безоглядки,необращаявнимания$; деепричастный оборот выделяется запятой. Такой смысл в данном контексте звучит менее естественно.

Правило и проверка

«Несмотря на» пишется слитно, если выступает как предлог и означает «вопреки, несмотря на то, что»: заменить можно на «вопреки». Пример: Несмотря на мороз, мы вышли — = Вопреки морозу, мы вышли.«Не смотря на» пишется раздельно, если это частица «не» + деепричастие «смотря» = «не глядя $на\dots$», то есть буквальное «не глядя на $что-либо$». Тогда оборот обычно выделяется запятыми. Пример: Он, не смотря на прохожих, продолжал разговор $т.е.неоглядываясьнапрохожих$.

Пунктуация

Если конструкция стоит в начале предложения, после неё ставится запятая: «Несмотря на плохую погоду, мы решили идти пешком.» или «Не смотря на плохую погоду, мы решили идти пешком.»Если в конце — запятая ставится перед ней: «Мы решили идти пешком, несмотря на плохую погоду.»Внутри предложения предлог «несмотря на» не разделяется запятой $т.е.запятаянеставитсямежду«несмотря»и«на/существительным»$.

Как выбирать на практике

Подставьте «вопреки» — если смысл сохраняется, пишите слитно.Подставьте «не глядя $на$» — если подходит, пишите раздельно.

В большинстве случаев в вашем примере уместно и правильно слитное «несмотря на плохую погоду» со значением «вопреки».