Коротко о проблеме
Предложение «За один день он успел посещать музеи, гулять по набережной и простудиться.» стилистически и грамматически нарушено прежде всего из‑за несоответствия видовых форм глаголов и нарушения синтаксического параллелизма.

Ошибки и норма

Видовые формы $аспект$.

Глагол «успел» $успеть$ в значении «иметь время совершить, сделать $удалосьсовершить$» обычно требует совершенного вида инфинитива: успел сделать. Поэтому корректно: «успел посетить», «успел прогуляться», «успел простудиться» $последний—ужесовершенныйвид$.«Посещать» — несовершенный вид, он обозначает регулярное, повторяющееся действие, а фраза «за один день» подразумевает единичные завершённые действия. Поэтому «посещать» здесь неуместно.

Синтаксический параллелизм $однородностьсказуемых$.

В перечислении формы глаголов должны быть однородны по виду и форме. В исходном предложении: «посещать» $несовершенный$, «гулять» $несовершенный$ и «простудиться» $совершенный$ — нарушена однородность.

Лексика/стилистика.

Семантически сочетание «успел простудиться» возможно $частосоттенкомиронии$, но в нейтральном стиле лучше предпочесть «простудился» или «в итоге простудился» для ясности причинно‑следственной связи.

$Орфографияипунктуациявисходномпредложенииошибокнесодержат.$

Варианты исправления $стилическиразные$

Нейтральный $прямой,корректный$:

За один день он успел посетить музеи, прогуляться по набережной и простудиться.За один день он посетил музеи, прогулялся по набережной и простудился.

Разговорный:

За день он побывал в музеях, прогулялся по набережной и простудился.За один день он и музеи посмотрел, и на набережной погулял — да ещё и простудился.

Книжный/публицистический:

За один день он обошёл несколько музеев, прогулялся по набережной и в итоге простудился.За один день он успел посетить несколько музеев, совершить прогулку по набережной и, к сожалению, простудиться.

Лаконичный:

За день он посетил музеи, прогулялся и простудился.

Ироничный/эмфатический:

Он за один день и музеи посетил, и на набережной погулял, и умудрился простудиться.

Как выбрать вариант

Если хотите подчеркнуть факт выполнения/завершённость действий — используйте совершенный вид $посетил,прогулялся,простудился$.Если нужен оттенок привычности или длительности — можно оставить несовершенный вид, но тогда убрать «за один день» или изменить контекст $напр.,«обычноонпосещаетмузеи\dots »$.Для разговорной речи допустимы обороты типа «побывал в музеях», «умудрился простудиться».

Если нужно, подскажу, какой вариант лучше в конкретном тексте $повесть,отчёт,эссеит.п.$.