Коротко — по смыслу слова и по синтаксической функции.

1) Почему «обстоятельство» так называется

Этимология и смысл: «обстоятельство» = то, что характеризует обстоятельства действия (время, место, образ действия, причину, цель, условие и т. п.). То есть добавляет сведения о «обстановке» совершения действия.Синтаксическая функция: отвечает на вопросы где? когда? куда? откуда? зачем? почему? как? сколько?Примеры:
("Она пришла утром.") — ("утром") отвечает на вопрос «когда?» → обстоятельство времени.("Мы встретились в парке.") — ("в парке") отвечает на вопрос «где?» → обстоятельство места.("Он работает ради семьи.") — ("ради семьи") отвечает на вопрос «зачем?» → обстоятельство цели.Доказательство роли: обстоятельства, как правило, не обязательны для грамматической связности предложения — их можно убрать, смысл действия останется, но уменьшится информация:
("Она пришла утром.") → убрать: ("Она пришла.") (предложение грамматически цело, но без уточнения времени).

2) Почему «дополнение» так называется

Этимология и смысл: «дополнение» = то, что дополняет предикат (глагол, иногда имя) и завершает смысл высказывания; слово «дополнять» — «сделать полным».Синтаксическая функция: отвечает на вопросы падежей: кого? что? кому? чему? кем? чем? о ком? о чём? и т. д.; выражается существительным в соответствующем падеже (прямое/косвенное дополнение).Примеры:
("Он открыл дверь.") — ("дверь") отвечает на «что?» → дополнение (прямое).("Я дал брату книгу.") — ("брату") (кому?) и ("книгу") (что?) — два дополнения: косвенное и прямое.Доказательство роли: дополнение часто необходимо для завершённости значения глагола — при его отсутствии предложение получается неполным или семантически незаконченным:
("Он открыл дверь.") → убрать дополнение: ("Он открыл.") — формально возможно, но обычно требует дополнения (вопрос «что открыл?»); без дополнения предложение семантически незавершённо.У глаголов с валентностью (требующих дополнений) отсутствие дополнения делает высказывание неполным: ("Она благодарит родителей.") vs ("Она благодарит.") — второе требует дополнения: «кого благодарит?».

Краткий вывод: «обстоятельство» подчёркивает «обстановку» действия и часто является необязательным уточнением; «дополнение» «дополняет» глагол — выступает тем элементом, который завершает или конкретизирует его значение.