Да, однокоренные — все три слова восходят к корню «род-» со значением «рождение, происхождение, род».
Кратко:
- Родина = род + суффикс «-ина» — «место рождения, место происхождения (рода)».
- Родник = род + суффикс «-ник» — первоначально «то, где рождается (появляется) вода», т.е. источник; переносное значение от «рождать, появляться».
- Народ = слово, связанное с «род/роды» (исторически: собрание родов, люди одного происхождения) — со временем значение расширилось до «люди, население, нация».
Этимологически корень восходит к праславянскому *rodъ «рождение, род» (и далее к индоевропейскому корню со схожим значением).