Краткое правило: собственные названия пишутся с заглавной, нарицательные — со строчной. Применение к вашим примерам:
Северный полюс
- С заглавной: когда это собственное географическое название конкретной точки или официального объекта — «Экспедиция достигла Северного полюса». Также заглавные буквы в составе составного географического названия: «Северный Магнитный полюс» (если это имя места).
- Со строчной: когда выражение носит описательный или общетехнический характер, не выступает как имя: «у магнита есть северный и южный полюс», «в тексте он использовал выражение «северный полюс» в переносном смысле» (метафора).
Русский язык
- Со строчной: названия языков в русском языке пишутся со строчной: «я изучаю русский язык», «курсы по русскому языку». Это нормативно.
- С заглавной: только в начале предложения или в составе названия/заголовка, где слово является первым или входит в официальное собственное имя (название журнала, книги, организации), например заголовок статьи «Русский язык как предмет», либо название издания «Русский язык» (тогда это собственное имя). Иногда возможны стилистические/брендовые варианты, но по норме — строчная.
Небольшой свод:
- географические собственные названия — заглавная (если это имя места); описательные, общие случаи — строчная.
- языки — по норме строчная; заглавная только вследствие позиции в предложении или в составе собственных названий/заголовков.