Ошибка в том, что деепричастие «прочитав отчет» должно относиться к подлежащему главного предложения (оно обозначает действие субъекта), но в приведённом предложении логически читающим, вероятно, был не «начальник». Это типичная несогласованность (висячее деепричастие).
Как устранить (варианты исправления):
- Сделать подлежащее тем, кто действительно читал: «Прочитав отчет, помощник доложил начальнику, и тот одобрил проект.»
- Переформулировать через придаточное или обстоятельственный оборот: «После того как отчет был прочитан, начальник одобрил проект.» или «Когда отчет прочитали, начальник одобрил проект.»
- Если читать должен был начальник (тогда исходное предложение корректно), можно оставить: «Прочитав отчет, начальник одобрил проект.» — но это правильно только при условии, что начальник действительно читал отчет.
Кратко: деепричастие должно относиться к подлежащему; исправление — либо изменить подлежащее, либо перестроить предложение так, чтобы деепричастие соответствовало действию.