«По прибытии» — это не деепричастный оборот и не вводное слово, а предложно‑именное сочетание (предлог «по» + существительное в дательном падеже), выполняющее роль обстоятельства времени: «по прибытии (чего/кого)».
Конструкция: обстоятельство времени (предложно‑именное сочетание) — «по + дат. сущ.» (здесь: «по прибытии поезда»).
Запятая: не нужна. Правило: обстоятельственные конструкции, стоящие в начале предложения и тесно связанные со сказуемым, не обособляются. Запятая возможна лишь при намеренном интонационном обособлении или если оборот осложнён вставными или уточняющими элементами. Пример без запятой: «По прибытии поезда многие пассажиры вышли на платформу.»